与えられた7つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{4(n+2)^{100}}{(n+6)^{30}(2n^{70} + n^{23} + 1)}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{8000^n}{n!}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{0.001}}{(\log n)^{1000}}$ (4) $\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}}$ (5) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{na^n} \ (|a| < 1)$ (6) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$ (7) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{9n^2 - n - 3n}}$

1. 問題の内容

与えられた7つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{4(n+2)^{100}}{(n+6)^{30}(2n^{70} + n^{23} + 1)}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{8000^n}{n!}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{0.001}}{(\log n)^{1000}}$

(4) $\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}}$

(5) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{na^n} \ (|a| < 1)$

(6) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{9n^2 - n - 3n}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{4(n+2)^{100}}{(n+6)^{30}(2n^{70} + n^{23} + 1)}$

分子の最高次数は$n^{100}$であり、分母の最高次数は$(n^{30})(n^{70}) = n^{100}$である。

そこで、分子と分母を$n^{100}$で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{4(1+2/n)^{100}}{(1+6/n)^{30}(2 + n^{-47} + n^{-70})} = \frac{4(1)^{100}}{(1)^{30}(2+0+0)} = \frac{4}{2} = 2$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{8000^n}{n!}$

$a_n = \frac{8000^n}{n!}$ とすると、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{8000^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{8000^n} = \frac{8000}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{8000}{n+1} = 0 < 1$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{8000^n}{n!} = 0$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{0.001}}{(\log n)^{1000}}$

$n$が十分大きいとき、$n^{\alpha}$は$(\log n)^{\beta}$より早く増加する（ただし、$\alpha, \beta > 0$）。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{0.001}}{(\log n)^{1000}} = \infty$

(4) $\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}}$

$y = n^{\frac{3}{n}}$とおくと、$\log y = \frac{3}{n} \log n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 \log n}{n} = 0$ (ロピタルの定理より)

したがって、$\lim_{n \to \infty} \log y = 0$

よって、$\lim_{n \to \infty} y = e^0 = 1$

$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{n}} = 1$

(5) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{na^n} \ (|a| < 1)$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{na^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \lim_{n \to \infty} a = 1 \cdot a = a$

(6) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$

$a_n = \frac{n!}{n^n}$ とすると、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) n!}{(n+1)^n (n+1)} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = (\frac{n}{n+1})^n = (\frac{n+1}{n})^{-n} = (1 + \frac{1}{n})^{-n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n} = \frac{1}{e} < 1$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{9n^2 - n - 3n}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{9n^2 - 4n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2(9 - \frac{4}{n})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n\sqrt{9 - \frac{4}{n}}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 0

(3) $\infty$

(4) 1

(5) a

(6) 0

(7) 0