定積分 $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値関数 $|x-1|$ は、$x<1$ のとき $-(x-1) = 1-x$ であり、$x \ge 1$ のとき $x-1$ です。したがって、積分範囲を $0 \le x \le 1$ と $1 \le x \le 3$ に分割して計算します。

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{3} (x-1) dx$

まず、$\int_{0}^{1} (1-x) dx$ を計算します。

$\int_{0}^{1} (1-x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) = \frac{1}{2}$

次に、$\int_{1}^{3} (x-1) dx$ を計算します。

$\int_{1}^{3} (x-1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{3} = (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

よって、$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$