与えられた微分方程式を解きます。微分方程式は以下の通りです。 $\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = e^{2x}\cos^2x$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解きます。微分方程式は以下の通りです。

$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = e^{2x}\cos^2x$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式を解きます。同次方程式は次のようになります。

$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$

特性方程式を立てます。

$r^2 - 4r + 4 = 0$

$(r-2)^2 = 0$

したがって、$r = 2$ (重根) です。

同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。非同次項は$e^{2x}\cos^2x$です。$\cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2}$なので、非同次項は$\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x$となります。

$e^{2x}$の項に対する特殊解は$Ax^2e^{2x}$の形であると仮定します（なぜなら$e^{2x}$と$xe^{2x}$は同次方程式の解であるため）。$e^{2x}\cos 2x$の項に対する特殊解は$e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x)$の形であると仮定します。したがって、特殊解は次のようになります。

$y_p = Ax^2e^{2x} + e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x)$

$y_p$を微分して微分方程式に代入し、$A, B, C$を求めます。

$y_p' = 2Axe^{2x} + 2Ax^2e^{2x} + 2e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x) + e^{2x}(-2B\sin 2x + 2C\cos 2x)$

$y_p'' = 2Ae^{2x} + 4Axe^{2x} + 4Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} + 4e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x) + 2e^{2x}(-2B\sin 2x + 2C\cos 2x) + 2e^{2x}(-2B\sin 2x + 2C\cos 2x) + e^{2x}(-4B\cos 2x - 4C\sin 2x)$

$y_p'' = 2Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} + e^{2x}( (4-4)B + 4C )\cos(2x) + e^{2x}( -4B +(4-4)C )\sin(2x)$

$y_p'' = 2Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} + 4Ce^{2x}\cos(2x) - 4Be^{2x}\sin(2x)$

微分方程式に代入すると、

$2Ae^{2x} + 8Axe^{2x} + 4Ax^2e^{2x} + 4Ce^{2x}\cos(2x) - 4Be^{2x}\sin(2x) - 4(2Axe^{2x} + 2Ax^2e^{2x} + 2e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x) + e^{2x}(-2B\sin 2x + 2C\cos 2x)) + 4(Ax^2e^{2x} + e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x)) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x$

整理すると、

$2Ae^{2x} + e^{2x}(-4B-4C+4B) + e^{2x}(-4B+4C-4C)\sin(2x) + e^{2x}4C\cos(2x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x$

$2A = \frac{1}{2}$, $-8B = 0$, $4C = \frac{1}{2}$

したがって、$A = \frac{1}{4}$, $B = 0$, $C = \frac{1}{8}$

したがって、$y_p = \frac{1}{4}x^2e^{2x} + \frac{1}{8}e^{2x}\sin 2x$

一般解は次のようになります。

$y = y_h + y_p = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x} + \frac{1}{8}e^{2x}\sin 2x$

3. 最終的な答え

$y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x} + \frac{1}{8}e^{2x}\sin 2x$