与えられた積分の問題を解きます。問題は、$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は、$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使います。

$u = \cos x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = -\sin x$ となり、 $du = -\sin x dx$、したがって $\sin x dx = -du$ となります。

元の積分に代入すると、

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\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} (-du) = -\int u^{-2} du

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べき乗則を用いて積分します。

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-\int u^{-2} du = - \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{u} + C

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ここで $u = \cos x$ を代入します。

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\frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C

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3. 最終的な答え

$\sec x + C$