不等式 $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ を解く問題です。ただし、対数関数が定義される条件を考慮する必要があります。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ を解く問題です。ただし、対数関数が定義される条件を考慮する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、対数関数が定義されるための条件を考えます。$\log(1+x)$ が定義されるためには、$1+x > 0$ である必要があります。したがって、$x > -1$ が必要です。

次に、関数 $f(x) = \frac{1+x}{2} - \log(1+x)$ を定義し、$f(x) > 0$ となる $x$ の範囲を求めることを考えます。

$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x - 2}{2(1+x)} = \frac{x-1}{2(1+x)}$ となります。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。

$x > -1$ において、$f'(x)$ の符号を調べます。

* $-1 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は減少関数です。

* $x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ は増加関数です。

したがって、$x=1$ で $f(x)$ は極小値を取ります。その値は

$f(1) = \frac{1+1}{2} - \log(1+1) = 1 - \log 2$

ここで、自然対数の底 $e$ は $2 < e < 3$ を満たすので、 $1 < \log e < 1.1$ です。$\log$ は自然対数を意味することに注意してください。

より正確には、$e = 2.718...$ なので、 $\log 2 < 1$ となります。 したがって、$f(1) = 1 - \log 2 > 0$ です。

また、$x=-1$ に近づくと $\frac{1+x}{2}$ は $0$ に近づき、 $-\log(1+x)$ は $\infty$ に発散するので、$f(x) > 0$ となります。

$x > -1$ で $f(1) > 0$ であり、$f(x)$ は $x=1$ で極小となることから、$x > -1$ において $f(x) > 0$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$x > -1$