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## 1. 問題の内容

解析学積分不定積分多項式累乗根
2025/5/29
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1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算します。
(1) ∫(6x5+5x4−1x2)dx\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx
(2) ∫(4x3+12x+(3x)2)dx\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx
(3) ∫(x−1)(1x3+1)dx\int (x-1)(\frac{1}{x^3}+1) dx
(4) ∫x2+x3−xxdx\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx
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2. 解き方の手順

**(1) ∫(6x5+5x4−1x2)dx\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx**
* 各項を個別に積分します。
* ∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n ≠ -1) を使用します。
* ∫6x5dx=6⋅x66=x6\int 6x^5 dx = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6
* ∫5x4dx=5⋅x55=x5\int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5
* ∫−1x2dx=∫−x−2dx=−x−1−1=1x\int -\frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-2} dx = - \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}
* 積分定数Cを追加します。
**(2) ∫(4x3+12x+(3x)2)dx\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx**
* 式を整理します。
* 4x3=2x3/2=2x−3/2\sqrt{\frac{4}{x^3}} = \frac{2}{x^{3/2}} = 2x^{-3/2}
* 12x=12x=12x−1/2\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2}
* (3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2
* 積分を書き換えます：∫(2x−3/2+12x−1/2+9x2)dx\int (2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 9x^2) dx
* 各項を個別に積分します。
* ∫2x−3/2dx=2⋅x−1/2−1/2=−4x−1/2=−4x\int 2x^{-3/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -4x^{-1/2} = -\frac{4}{\sqrt{x}}
* ∫12x−1/2dx=12⋅x1/21/2=22x1/2=2x\int \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x^{1/2} = \sqrt{2x}
* ∫9x2dx=9⋅x33=3x3\int 9x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3
* 積分定数Cを追加します。
**(3) ∫(x−1)(1x3+1)dx\int (x-1)(\frac{1}{x^3}+1) dx**
* 式を展開します: (x−1)(1x3+1)=xx3+x−1x3−1=1x2+x−1x3−1=x−2+x−x−3−1(x-1)(\frac{1}{x^3}+1) = \frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = x^{-2} + x - x^{-3} - 1
* 各項を個別に積分します。
* ∫x−2dx=x−1−1=−1x\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}
* ∫xdx=x22\int x dx = \frac{x^2}{2}
* ∫−x−3dx=−x−2−2=12x2\int -x^{-3} dx = -\frac{x^{-2}}{-2} = \frac{1}{2x^2}
* ∫−1dx=−x\int -1 dx = -x
* 積分定数Cを追加します。
**(4) ∫x2+x3−xxdx\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx**
* 式を整理します。
* x2x=x\frac{x^2}{x} = x
* x3x=x3/2x=x1/2=x\frac{\sqrt{x^3}}{x} = \frac{x^{3/2}}{x} = x^{1/2} = \sqrt{x}
* −xx=−x1/2x=−x−1/2=−1x\frac{-\sqrt{x}}{x} = -\frac{x^{1/2}}{x} = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}
* 積分を書き換えます：∫(x+x−1x)dx=∫(x+x1/2−x−1/2)dx\int (x + \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx = \int (x + x^{1/2} - x^{-1/2}) dx
* 各項を個別に積分します。
* ∫xdx=x22\int x dx = \frac{x^2}{2}
* ∫x1/2dx=x3/23/2=23x3/2=23xx\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{2}{3} x\sqrt{x}
* ∫−x−1/2dx=−x1/21/2=−2x1/2=−2x\int -x^{-1/2} dx = -\frac{x^{1/2}}{1/2} = -2x^{1/2} = -2\sqrt{x}
* 積分定数Cを追加します。
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3. 最終的な答え

(1) x6+x5+1x+Cx^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C
(2) −4x+2x+3x3+C-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C
(3) −1x+x22+12x2−x+C-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C
(4) x22+23xx−2x+C\frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + C

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