以下の3つの重積分の値を計算します。 (1) $\iint_D \frac{1}{\sqrt{y-x}} dxdy$, $D: 0 \le x < y \le 1$ (2) $\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy$, $D: -1 \le x+y \le 1, -1 \le x-y \le 1$ (3) $\iint_D \frac{|xy|}{x^2+y^2} dxdy$, $D: x^2+y^2 \le 1$

1. 問題の内容

以下の3つの重積分の値を計算します。

(1) $\iint_D \frac{1}{\sqrt{y-x}} dxdy$, $D: 0 \le x < y \le 1$

(2) $\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy$, $D: -1 \le x+y \le 1, -1 \le x-y \le 1$

(3) $\iint_D \frac{|xy|}{x^2+y^2} dxdy$, $D: x^2+y^2 \le 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず積分範囲を定める。$0 \le x < y \le 1$ より $0 \le x \le 1$, $x < y \le 1$ なので、積分は次のようになる。

$\int_0^1 \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{y-x}} dy dx$

内側の積分を計算する。$u = y-x$ と置くと、$du = dy$ であり、$y=x$ のとき $u=0$, $y=1$ のとき $u=1-x$。

$\int_x^1 \frac{1}{\sqrt{y-x}} dy = \int_0^{1-x} \frac{1}{\sqrt{u}} du = [2\sqrt{u}]_0^{1-x} = 2\sqrt{1-x}$

外側の積分を計算する。

$\int_0^1 2\sqrt{1-x} dx$

$v = 1-x$ と置くと、$dv = -dx$ であり、$x=0$ のとき $v=1$, $x=1$ のとき $v=0$。

$\int_0^1 2\sqrt{1-x} dx = \int_1^0 2\sqrt{v} (-dv) = 2\int_0^1 \sqrt{v} dv = 2 [\frac{2}{3}v^{3/2}]_0^1 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

(2)

$u = x+y$, $v = x-y$ と変数変換する。すると、$x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。

ヤコビアンは

$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、$|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}| = \frac{1}{2}$。

積分範囲は $-1 \le u \le 1$, $-1 \le v \le 1$ なので、

$\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 u^2 e^v \frac{1}{2} du dv = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 u^2 du \int_{-1}^1 e^v dv$

$\int_{-1}^1 u^2 du = [\frac{1}{3}u^3]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

$\int_{-1}^1 e^v dv = [e^v]_{-1}^1 = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

よって、$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (e-\frac{1}{e}) = \frac{1}{3}(e-\frac{1}{e}) = \frac{e^2-1}{3e}$

(3)

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行う。すると、$x^2+y^2 = r^2$ であり、$dxdy = rdrd\theta$。

積分範囲は $x^2+y^2 \le 1$ より $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$。

$\iint_D \frac{|xy|}{x^2+y^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{|r\cos\theta \cdot r\sin\theta|}{r^2} r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 |r\cos\theta \sin\theta| dr d\theta = \int_0^{2\pi} |\cos\theta \sin\theta| (\int_0^1 r dr) d\theta$

$\int_0^1 r dr = [\frac{1}{2}r^2]_0^1 = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} |\cos\theta \sin\theta| d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} |\frac{1}{2}\sin(2\theta)| d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} |\sin(2\theta)| d\theta$

$\int_0^{2\pi} |\sin(2\theta)| d\theta = 4\int_0^{\pi/2} \sin(2\theta) d\theta = 4[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{\pi/2} = 4(-\frac{1}{2}(-1-1)) = 4$

したがって、$\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $\frac{e^2-1}{3e}$

(3) $1$