次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3\cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3\cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母と分子を $\cos^2 x$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x + 3\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 3} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 3} dx$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x dx$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = \tan 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du$

これは基本的な積分であり、次のように計算できます。

$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + C$

この場合、$a = \sqrt{3}$ であるため、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^2 + 3} du = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{u}{\sqrt{3}}) \Big|_{0}^{1}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(0) = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) - 0$

$\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ であるため、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi\sqrt{3}}{18}$