2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ の交点を求めます。

$y = \log x$ が $x$軸と交わる点は、$x = 1$ です。また、$y = \frac{1}{2}x^2$ が $x$軸と交わる点は、$x = 0$ です。

$x > 0$ の範囲で2つの曲線と$x$軸で囲まれた領域の体積を求める必要があります。

問題文に詳細が記載されていませんが、$y = \log_e x$であると仮定します。

$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ の交点を求めるのは困難です。

また、$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$の交点のうち、$x>0$で、$x=2$付近にあることは分かります。

回転体の体積を求める公式は、

$V = \pi \int_a^b y^2 dx$

です。

$x = 1$ から $x = k$ (ただし、$k > 1$) の範囲で、$y = \log x$ と $x$軸で囲まれた図形を回転させた体積 $V_1$ を計算します。

$V_1 = \pi \int_1^k (\log x)^2 dx$

$y = \frac{1}{2}x^2$と$x$軸で囲まれた図形を回転させた体積 $V_2$ を$x = 0$から$x = k$まで計算します。

$V_2 = \pi \int_0^k (\frac{1}{2}x^2)^2 dx = \pi \int_0^k \frac{1}{4}x^4 dx = \pi [\frac{1}{20}x^5]_0^k = \frac{\pi}{20}k^5$

$k$の値が不明なため、これ以上計算を進めることができません。

3. 最終的な答え

問題文に不備があるため、体積を求めることはできません。