2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_e x$ および $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_e x$ および $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_e x$ のグラフを描き、$x$軸との交点とグラフの交点を確認します。

* $y = \frac{1}{2}x^2$ と $x$ 軸の交点は $x=0$ です。

* $y = \log_e x$ と $x$ 軸の交点は $x=1$ です。

また、2つの曲線の交点の $x$ 座標を求めます。

$\frac{1}{2}x^2 = \log_e x$ を満たす $x$ を求める必要があります。この方程式は解析的に解くのが難しいので、$x=2$ の近傍に解があることがグラフから予想できます。正確な値はここでは求めず、交点の $x$ 座標を $a$ とおきます。

つまり、$\frac{1}{2}a^2 = \log_e a$ が成り立ちます。

回転体の体積は、それぞれの関数を回転させた体積の差として計算できます。

$x = 1$ から $x = a$ までの区間で、$y = \log_e x$ を回転させた体積 $V_1$ は、

$V_1 = \pi \int_1^a (\log_e x)^2 dx$

となります。

$x=0$ から $x=a$ までの区間で、$y = \frac{1}{2}x^2$ を回転させた体積 $V_2$ は、

$V_2 = \pi \int_0^a (\frac{1}{2}x^2)^2 dx = \pi \int_0^a \frac{1}{4}x^4 dx$

となります。

求める体積 $V$ は $V = V_1 - V_2$ となります。

$V = \pi \int_1^a (\log_e x)^2 dx - \pi \int_0^a \frac{1}{4}x^4 dx$

ここで、積分を計算します。

$\int (\log_e x)^2 dx = x(\log_e x)^2 - 2x\log_e x + 2x + C$

$\int x^4 dx = \frac{1}{5}x^5 + C$

したがって、

$V_1 = \pi [x(\log_e x)^2 - 2x\log_e x + 2x]_1^a = \pi[a(\log_e a)^2 - 2a\log_e a + 2a - (0 - 0 + 2)] = \pi[a(\log_e a)^2 - 2a\log_e a + 2a - 2]$

$V_2 = \pi[\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} x^5]_0^a = \pi \frac{a^5}{20}$

ここで、$\frac{1}{2}a^2 = \log_e a$ より、$V_1 = \pi[a(\frac{1}{2}a^2)^2 - 2a(\frac{1}{2}a^2) + 2a - 2] = \pi[\frac{1}{4}a^5 - a^3 + 2a - 2]$

$V = \pi [\frac{1}{4}a^5 - a^3 + 2a - 2] - \pi [\frac{1}{20}a^5] = \pi [\frac{1}{5}a^5 - a^3 + 2a - 2]$

したがって求める体積は、

$V = \pi(\frac{a^5}{5} - a^3 + 2a - 2)$

3. 最終的な答え

$\pi(\frac{a^5}{5} - a^3 + 2a - 2)$。ただし、$a$ は $\frac{1}{2}x^2 = \log_e x$ の解。