与えられた積分 $\int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2(x)$ を $1 - \sin^2(x)$ で置き換えます。

$$\int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} dx = \int \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin(x)} dx$$

次に、分数を分解します。

$$= \int \left( \frac{1}{\sin(x)} - \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)} \right) dx$$

$$= \int (\csc(x) - \sin(x)) dx$$

ここで、$\int \csc(x) dx = - \ln|\csc(x) + \cot(x)| + C$ と $\int \sin(x) dx = - \cos(x) + C$ を使います。

$$= \int \csc(x) dx - \int \sin(x) dx$$

$$= - \ln|\csc(x) + \cot(x)| - (-\cos(x)) + C$$

$$= - \ln|\csc(x) + \cot(x)| + \cos(x) + C$$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} dx = \cos(x) - \ln|\csc(x) + \cot(x)| + C$