$x > 0$ のとき、次の不等式を証明します。 (1) $2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$ (2) $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$

## 解答

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明します。

(1) $2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$

(2) $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$

2. 解き方の手順

**(1) $2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$ の証明**

まず、$2x > \log(1+x)^2$ を証明します。

$\log(1+x)^2 = 2 \log(1+x)$ なので、$x > \log(1+x)$ を示せば良いです。

関数 $f(x) = x - \log(1+x)$ を考えます。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$

$x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ であるため、$f(x)$ は単調増加です。

また、$f(0) = 0 - \log(1+0) = 0$ であるため、$x > 0$ において、$f(x) > 0$ です。

したがって、$x > \log(1+x)$ が成立します。

よって、$2x > \log(1+x)^2$ が証明されました。

次に、$\log(1+x)^2 > 2x - x^2$ を証明します。

$\log(1+x)^2 > 2x - x^2$ は、$2\log(1+x) > 2x - x^2$ と同値です。

つまり、$\log(1+x) > x - \frac{x^2}{2}$ を示す必要があります。

関数 $g(x) = \log(1+x) - (x - \frac{x^2}{2})$ を考えます。

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - (1 - x) = \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

$x > 0$ のとき、$g'(x) > 0$ であるため、$g(x)$ は単調増加です。

また、$g(0) = \log(1+0) - (0 - \frac{0^2}{2}) = 0$ であるため、$x > 0$ において、$g(x) > 0$ です。

したがって、$\log(1+x) > x - \frac{x^2}{2}$ が成立します。

よって、$\log(1+x)^2 > 2x - x^2$ が証明されました。

以上より、$2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$ が証明されました。

**(2) $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ の証明**

関数 $h(x) = \frac{1+x}{2} - \log(1+x)$ を考えます。

$h'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x - 2}{2(1+x)} = \frac{x-1}{2(1+x)}$

$x=0$ の時、$h(0) = \frac{1+0}{2} - \log(1+0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

$h'(x)=0$となるのは$x=1$の時なので、$x=1$で、$h(x)$は最小値を取る。

よって、$h(x)$が常に正であることを示せばよい。

$h'(x) = \frac{x-1}{2(1+x)}$ より、$x>1$で、$h'(x) > 0$

$0<x<1$で、$h'(x) < 0$ であるので、$h(x)$ は、$x=1$で最小値を取る。

$h(1) = \frac{1+1}{2} - \log(1+1) = 1 - \log 2 \approx 1 - 0.693 = 0.307 > 0$

従って、$h(x) > 0$ となるので、$\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$ は証明された。

(2) $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ は証明された。