与えられた積分を計算します。積分は次のとおりです。 $\int \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次のとおりです。

$\int \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

積分を分割します。

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx - \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx$

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx - \int \frac{1}{\cos x} dx$

$\frac{1}{\cos^2 x}$は$\sec^2 x$に等しく、$\frac{1}{\cos x}$は$\sec x$に等しいことを知っています。したがって、次のようになります。

$\int \sec^2 x dx - \int \sec x dx$

$\sec^2 x$の積分は$\tan x$であり、$\sec x$の積分は$\ln |\sec x + \tan x|$です。したがって、次のようになります。

$\tan x - \ln |\sec x + \tan x| + C$

3. 最終的な答え

$\tan x - \ln |\sec x + \tan x| + C$