複素関数の微分可能性に関する問題です。 1) 与えられた実部 $u$ と虚部 $v$ の組からなる複素関数 $f=u+iv$ の微分可能性を判定します。 2) $f(z) = z^n$ ($n \in \mathbb{N}$) が $\mathbb{C}$ で正則であることを示し、定義4の極限を計算して $f'(z) = nz^{n-1}$ を示します。 3) $z$ が実数 $t$ でパラメータ表示されているとき、$z=z(t)$ であり、複素関数 $f(z)$ が微分可能で、$z(t)$ が $t$ で微分可能なとき、$\frac{d}{dt}f(z(t)) = \frac{df}{dz}\frac{dz}{dt}$ となることを示します。 4) $f$ が微分可能ならば、実部 $u$ と虚部 $v$ が方程式 $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$$ を満たすことを示します。 5) $u(x,y) = 一定$ を満たす $(x,y)$ が描く曲線 (等高線) の接線ベクトルの成分は $(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x})$ と書けることを利用して、 i) $f$ が微分可能ならば、実部 $u$ と虚部 $v$ の等高線が交点で直交することを示します。 ii) $f(z) = (a+ib)z$ ($a, b > 0$), $g(z) = 1/z$ ($z \neq 0$) が $\mathbb{C}$ 上で正則であることを示し、これらの実部と虚部の等高線をそれぞれ数本ずつ描いて前問の結果を確かめます。

1. 問題の内容

複素関数の微分可能性に関する問題です。

1) 与えられた実部 $u$ と虚部 $v$ の組からなる複素関数 $f=u+iv$ の微分可能性を判定します。

2) $f(z) = z^n$ ($n \in \mathbb{N}$) が $\mathbb{C}$ で正則であることを示し、定義4の極限を計算して $f'(z) = nz^{n-1}$ を示します。

3) $z$ が実数 $t$ でパラメータ表示されているとき、$z=z(t)$ であり、複素関数 $f(z)$ が微分可能で、$z(t)$ が $t$ で微分可能なとき、$\frac{d}{dt}f(z(t)) = \frac{df}{dz}\frac{dz}{dt}$ となることを示します。

4) $f$ が微分可能ならば、実部 $u$ と虚部 $v$ が方程式

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$$

を満たすことを示します。

5) $u(x,y) = 一定$ を満たす $(x,y)$ が描く曲線 (等高線) の接線ベクトルの成分は $(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x})$ と書けることを利用して、

i) $f$ が微分可能ならば、実部 $u$ と虚部 $v$ の等高線が交点で直交することを示します。

ii) $f(z) = (a+ib)z$ ($a, b > 0$), $g(z) = 1/z$ ($z \neq 0$) が $\mathbb{C}$ 上で正則であることを示し、これらの実部と虚部の等高線をそれぞれ数本ずつ描いて前問の結果を確かめます。

2. 解き方の手順

1) 複素関数の微分可能性を判定するには、コーシー・リーマンの関係式を確認する必要があります。コーシー・リーマンの関係式は、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

で与えられます。これらの関係式が成立し、かつ $u, v$ の偏導関数が連続ならば、関数 $f(z) = u + iv$ は微分可能です。

i) $u(x,y) = e^x \cos y$, $v(x,y) = e^x \sin y$ の場合、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$$

より、コーシー・リーマンの関係式が成立します。したがって、$f(z) = e^z$ は微分可能です。

ii) $u(x,y) = x$, $v(x,y) = -y$ の場合、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1$$

より、$\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ なので、コーシー・リーマンの関係式は成立しません。したがって、$f(z) = \overline{z}$ は微分可能ではありません。

iii) $u(x,y) = x^2 + y^2$, $v(x,y) = 0$ の場合、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

より、コーシー・リーマンの関係式が成立するのは $x=0$ かつ $y=0$ のときのみです。したがって、$f(z) = |z|^2$ は $z=0$ 以外の点で微分可能ではありません。

2) $f(z) = z^n$ の微分を計算するには、定義より

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{(z+\Delta z)^n - z^n}{\Delta z}$$

二項定理を用いて $(z+\Delta z)^n = z^n + n z^{n-1} \Delta z + \frac{n(n-1)}{2}z^{n-2} (\Delta z)^2 + \dots + (\Delta z)^n$ と展開できるので、

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{z^n + nz^{n-1}\Delta z + O((\Delta z)^2) - z^n}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{nz^{n-1}\Delta z + O((\Delta z)^2)}{\Delta z} = nz^{n-1}$$

したがって、$f'(z) = nz^{n-1}$ となります。

3) 合成関数の微分を考えます。

$$\frac{d}{dt}f(z(t)) = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

コーシーリーマンの関係式 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ と $f(z) = u+iv$ を使うと、

$$\frac{df}{dz} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{dz}{dt} = \frac{dx}{dt} + i\frac{dy}{dt}$$

$$\frac{df}{dz} \frac{dz}{dt} = (\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x})(\frac{dx}{dt} + i\frac{dy}{dt}) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} - \frac{\partial v}{\partial x} \frac{dy}{dt} + i(\frac{\partial v}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dy}{dt})$$

コーシーリーマンの関係式を代入

$$= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{dt} + i(\frac{\partial v}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{dy}{dt})$$

$$= \frac{d}{dt}u(x(t),y(t)) + i\frac{d}{dt}v(x(t),y(t)) = \frac{d}{dt}f(z(t))$$

したがって、$\frac{d}{dt}f(z(t)) = \frac{df}{dz}\frac{dz}{dt}$ が成立します。

4) $f$ が微分可能ならば、コーシー・リーマンの関係式が成立します。したがって、

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

これらをそれぞれ $x, y$ で偏微分すると、

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}$$

したがって、

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} = 0$$

同様に、

$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = -\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$$

より、

$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 0$$

したがって、$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ と $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$ が成立します。

5) i) $u(x,y) = c_1$, $v(x,y) = c_2$ ($c_1, c_2$ は定数) を満たす等高線を考えます。それぞれの接線ベクトルの成分は $(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x})$ と $(\frac{\partial v}{\partial y}, -\frac{\partial v}{\partial x})$ で与えられます。これらのベクトルが直交するためには、内積が 0 である必要があります。すなわち、

$$(\frac{\partial u}{\partial y}, -\frac{\partial u}{\partial x}) \cdot (\frac{\partial v}{\partial y}, -\frac{\partial v}{\partial x}) = \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

コーシー・リーマンの関係式 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ を使うと、

$$\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

正則であればCauchy Riemannの関係式が成り立ち、上記の内積は0になります.

ii) $f(z) = (a+ib)z = (a+ib)(x+iy) = (ax-by) + i(bx+ay)$ より、$u(x,y) = ax-by$, $v(x,y) = bx+ay$ となります。

$g(z) = 1/z = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}$ より、$u(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}$, $v(x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2}$ となります。

3. 最終的な答え

1) i) 微分可能、ii) 微分不可能、iii) $z=0$ 以外の点で微分不可能

2) $f'(z) = nz^{n-1}$

3) $\frac{d}{dt}f(z(t)) = \frac{df}{dz}\frac{dz}{dt}$

4) $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$, $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$

5) i) 直交する、ii) 省略