与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' - 5y' + 6y = 5e^{-2x}$ の一般解を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' - 5y' + 6y = 5e^{-2x}$ の一般解を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' - 5y' + 6y = 0$ の一般解を求めます。次に、非同次方程式の特殊解を求め、それらを足し合わせることで一般解を得ます。

同次方程式の特性方程式は $r^2 - 5r + 6 = 0$ です。これを解くと $(r-2)(r-3) = 0$ となり、$r_1 = 2$、$r_2 = 3$ が得られます。したがって、同次方程式の一般解は $y_h = Ae^{3x} + Be^{2x}$ となります (A, Bは任意定数)。

次に、非同次方程式 $y'' - 5y' + 6y = 5e^{-2x}$ の特殊解を求めます。右辺が $5e^{-2x}$ であるため、$y_p = Ce^{-2x}$ の形を仮定します。これを微分すると、

$y_p' = -2Ce^{-2x}$

$y_p'' = 4Ce^{-2x}$

となります。

これらを元の微分方程式に代入すると、

$4Ce^{-2x} - 5(-2Ce^{-2x}) + 6(Ce^{-2x}) = 5e^{-2x}$

$4Ce^{-2x} + 10Ce^{-2x} + 6Ce^{-2x} = 5e^{-2x}$

$20Ce^{-2x} = 5e^{-2x}$

したがって、$20C = 5$ となり、$C = \frac{1}{4}$ が得られます。

したがって、特殊解は $y_p = \frac{1}{4}e^{-2x}$ です。

微分方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で表されます。つまり、

$y = y_h + y_p = Ae^{3x} + Be^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x}$

3. 最終的な答え

したがって、微分方程式の一般解は $y = Ae^{3x} + Be^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x}$ となります。選択肢の中では、5番が正しいです。