与えられた積分の問題を解きます。問題は以下の積分を計算することです。 $\int \frac{1 - \cos(x)}{\cos^2(x)} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は以下の積分を計算することです。

$\int \frac{1 - \cos(x)}{\cos^2(x)} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を分解します。

$\frac{1 - \cos(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} - \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)} = \sec^2(x) - \frac{1}{\cos(x)} = \sec^2(x) - \sec(x)$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (\sec^2(x) - \sec(x)) dx = \int \sec^2(x) dx - \int \sec(x) dx$

$\sec^2(x)$ の積分は $\tan(x)$ であり、$\sec(x)$ の積分は $\ln|\sec(x) + \tan(x)|$ です。

$\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + C_1$

$\int \sec(x) dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int \frac{1 - \cos(x)}{\cos^2(x)} dx = \tan(x) - \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$

3. 最終的な答え

$\tan(x) - \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$