与えられた関数 $y$ を、$x$ について微分する問題です。公式 3.1~3.4, 6.6 を用いることが指示されています。

はい、承知いたしました。以下の問題について、一つずつ微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を、$x$ について微分する問題です。公式 3.1~3.4, 6.6 を用いることが指示されています。

2. 解き方の手順

(1) $y = (3x+1)\sin 2x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = 3x+1$, $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = 3$, $v' = 2\cos 2x$

したがって、

$y' = 3\sin 2x + (3x+1)(2\cos 2x) = 3\sin 2x + (6x+2)\cos 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = \cos 6x$, $v = \tan \frac{x}{2}$ とすると、

$u' = -6\sin 6x$, $v' = \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}$

したがって、

$y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \cos 6x (\frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}) = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cos 6x \sec^2 \frac{x}{2}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = \cos 4x$, $v = x+1$ とすると、

$u' = -4\sin 4x$, $v' = 1$

したがって、

$y' = \frac{-4\sin 4x (x+1) - \cos 4x}{(x+1)^2} = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = x^2$, $v = \tan x$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = \sec^2 x$

したがって、

$y' = \frac{2x\tan x - x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y = \sin(x^2+x-1)$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$y' = \cos(x^2+x-1)(2x+1) = (2x+1)\cos(x^2+x-1)$

(6) $y = \tan(\sqrt{x-1})$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$y' = \sec^2 (\sqrt{x-1})\frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{\sec^2(\sqrt{x-1})}{2\sqrt{x-1}}$

(7) $y = \frac{1}{(\cos 3x+1)^2} = (\cos 3x+1)^{-2}$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$y' = -2(\cos 3x + 1)^{-3}(-3\sin 3x) = \frac{6\sin 3x}{(\cos 3x + 1)^3}$

(8) $y = \sqrt{\tan x + \cot x} = (\tan x + \cot x)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$y' = \frac{1}{2} (\tan x + \cot x)^{-\frac{1}{2}} (\sec^2 x - \csc^2 x) = \frac{\sec^2 x - \csc^2 x}{2\sqrt{\tan x + \cot x}}$

(9) $y = e^{\cos x}$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$y' = e^{\cos x} (-\sin x) = -\sin x e^{\cos x}$

(10) $y = \sin (\log x)$

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$y' = \cos(\log x) (\frac{1}{x}) = \frac{\cos(\log x)}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3\sin 2x + (6x+2)\cos 2x$

(2) $y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cos 6x \sec^2 \frac{x}{2}$

(3) $y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y' = \frac{2x\tan x - x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y' = (2x+1)\cos(x^2+x-1)$

(6) $y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x-1})}{2\sqrt{x-1}}$

(7) $y' = \frac{6\sin 3x}{(\cos 3x + 1)^3}$

(8) $y' = \frac{\sec^2 x - \csc^2 x}{2\sqrt{\tan x + \cot x}}$

(9) $y' = -\sin x e^{\cos x}$

(10) $y' = \frac{\cos(\log x)}{x}$