与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$ (2) $\int_{0}^{4} |x^2 - 9| dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$

(2) $\int_{0}^{4} |x^2 - 9| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{3} |x-1| dx$

絶対値の中身の符号が変わる点を探します。$x-1=0$ より $x=1$ です。

したがって、積分区間を $0 \leq x \leq 1$ と $1 \leq x \leq 3$ に分割します。

$0 \leq x \leq 1$ では、$x-1 \leq 0$ なので、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ です。

$1 \leq x \leq 3$ では、$x-1 \geq 0$ なので、$|x-1| = x-1$ です。

したがって、

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{3} (x-1) dx$

$\int_{0}^{1} (1-x) dx = [x - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - (0) = \frac{1}{2}$

$\int_{1}^{3} (x-1) dx = [\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^{3} = (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

$\int_{0}^{3} |x-1| dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

(2) $\int_{0}^{4} |x^2 - 9| dx$

絶対値の中身の符号が変わる点を探します。$x^2-9=0$ より $x=\pm 3$ です。

積分区間 $0 \leq x \leq 4$ を考慮すると、積分区間を $0 \leq x \leq 3$ と $3 \leq x \leq 4$ に分割します。

$0 \leq x \leq 3$ では、$x^2 - 9 \leq 0$ なので、$|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$ です。

$3 \leq x \leq 4$ では、$x^2 - 9 \geq 0$ なので、$|x^2 - 9| = x^2 - 9$ です。

したがって、

$\int_{0}^{4} |x^2 - 9| dx = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx + \int_{3}^{4} (x^2 - 9) dx$

$\int_{0}^{3} (9 - x^2) dx = [9x - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{3} = (27 - \frac{27}{3}) - (0) = 27 - 9 = 18$

$\int_{3}^{4} (x^2 - 9) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 9x]_{3}^{4} = (\frac{64}{3} - 36) - (\frac{27}{3} - 27) = \frac{64}{3} - 36 - (9 - 27) = \frac{64}{3} - 36 + 18 = \frac{64}{3} - 18 = \frac{64 - 54}{3} = \frac{10}{3}$

$\int_{0}^{4} |x^2 - 9| dx = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{64}{3}$