与えられた積分 $\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$ を $\frac{A}{1+x^2} + \frac{B}{(1+x^2)^2}$ の形に変形することを考えます。

分子を通分すると、

$\frac{x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{A(1+x^2) + B}{(1+x^2)^2} = \frac{Ax^2 + A + B}{(1+x^2)^2}$

分子を比較すると、

$A = 1$

$A + B = 0$

したがって、$A = 1$、$B = -1$となります。

よって、

$\frac{x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{(1+x^2)^2}$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C_1$ です。

$\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$ を計算するために、$x = \tan \theta$ と置換します。すると、$dx = \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{\sec^2 \theta}{(1+\tan^2 \theta)^2} d\theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{(\sec^2 \theta)^2} d\theta = \int \frac{1}{\sec^2 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ なので、

$\int \cos^2 \theta d\theta = \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin(2\theta) + C_2 = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C_2$

$x = \tan \theta$ なので、$\theta = \arctan x$ です。また、$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ です。

したがって、

$\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + C_2$

元の積分は

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \arctan x - (\frac{1}{2} \arctan x + \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2}) + C = \frac{1}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\arctan(x) - \frac{x}{2(1+x^2)} + C$