$\int \tan^3 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \tan^3 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^3 x$ を $\tan x$ と $\tan^2 x$ に分解します。

$$\int \tan^3 x \, dx = \int \tan x \cdot \tan^2 x \, dx$$

次に、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用して、積分を書き換えます。

$$\int \tan x \cdot \tan^2 x \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx$$

積分を分配します。

$$\int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx$$

それぞれの積分を計算します。

$\int \tan x \sec^2 x \, dx$ を計算するために、置換積分を行います。$u = \tan x$ とすると、$du = \sec^2 x \, dx$ となります。したがって、

$$\int \tan x \sec^2 x \, dx = \int u \, du = \frac{1}{2}u^2 + C_1 = \frac{1}{2}\tan^2 x + C_1$$

次に、$\int \tan x \, dx$ を計算します。$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。$v = \cos x$ とすると、$dv = -\sin x \, dx$ となります。したがって、

$$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-1}{v} \, dv = -\ln |v| + C_2 = -\ln |\cos x| + C_2 = \ln |\sec x| + C_2$$

したがって、

$$\int \tan^3 x \, dx = \frac{1}{2}\tan^2 x - \ln |\sec x| + C$$

ここで、$C = C_1 - C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\tan^2 x - \ln |\sec x| + C$