関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 $C(1, 2)$ から引いた接線の方程式を求める。

## 問題6

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 $C(1, 2)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおく。

次に、関数 $y = x^3 + 2$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2$

よって、点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の傾きは $3t^2$ である。

この接線の方程式は

$y - (t^3 + 2) = 3t^2 (x - t)$

と表せる。

この接線が点 $C(1, 2)$ を通るので、

$2 - (t^3 + 2) = 3t^2 (1 - t)$

$-t^3 = 3t^2 - 3t^3$

$2t^3 - 3t^2 = 0$

$t^2(2t - 3) = 0$

したがって、$t = 0, \frac{3}{2}$

$t = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 2)$ 、傾きは $3(0)^2 = 0$

接線の方程式は $y - 2 = 0(x - 0)$ より $y = 2$

$t = \frac{3}{2}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 + 2) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} + 2) = (\frac{3}{2}, \frac{43}{8})$

傾きは $3(\frac{3}{2})^2 = 3(\frac{9}{4}) = \frac{27}{4}$

接線の方程式は $y - \frac{43}{8} = \frac{27}{4}(x - \frac{3}{2})$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{81}{8} + \frac{43}{8}$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{38}{8}$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$

3. 最終的な答え

$y = 2$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$