問題は、$\sin x$ のマクローリン展開が以下のように表されることを示すことです。 $$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots$$

1. 問題の内容

問題は、$\sin x$ のマクローリン展開が以下のように表されることを示すことです。

$$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots$$

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開を求めるには、まず$\sin x$ の導関数を求め、それらを $x=0$ で評価します。マクローリン展開は、関数をその導関数を用いて原点の周りの無限級数で表現する方法です。

$\sin x$ のマクローリン展開は、以下の公式を用いて計算されます。

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

ここで $f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 次導関数を $x=0$ で評価したものです。

$\sin x$ の導関数をいくつか計算してみましょう。

* $f(x) = \sin x$, $f(0) = 0$

* $f'(x) = \cos x$, $f'(0) = 1$

* $f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = 0$

* $f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -1$

* $f^{(4)}(x) = \sin x$, $f^{(4)}(0) = 0$

* $f^{(5)}(x) = \cos x$, $f^{(5)}(0) = 1$

このパターンが続くので、$n$ が偶数のとき $f^{(n)}(0) = 0$ であり、$n$ が奇数のとき、$f^{(n)}(0)$ は 1 または -1 です。具体的には、$n = 2k+1$のとき、

$$f^{(n)}(0) = (-1)^k$$

したがって、$\sin x$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$$\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

$n=k+1$ と置くと、

$$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n-1} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots$$

3. 最終的な答え

$$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots$$