$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、ネイピア数 $e$ の定義を利用して解くことができます。

$e$ の定義は、

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

あるいは

$e = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

で与えられます。

与えられた式

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2}$

において、$x = n^2$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$

となります。

これはまさに $e$ の定義そのものです。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} = e$