関数 $f(x) = \tan^{-1} x$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(x)$ の $x=0$ における値 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \tan^{-1} x$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(x)$ の $x=0$ における値 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \tan^{-1} x$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

次に、$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ を $1+x^2$ で割ることを考える。

$f'(x)$ をべき級数で表す。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots$

このべき級数は $|x| < 1$ で収束する。

ここで、$f'(x)$ を積分して $f(x)$ を求める。

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k} dx = \sum_{k=0}^\infty \int (-1)^k x^{2k} dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + C$

$f(x) = \tan^{-1} x$ であるから、$f(0) = \tan^{-1} 0 = 0$ である。

また、べき級数表示において、$x=0$ とすると、$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{0^{2k+1}}{2k+1} + C = 0 + C = C$ である。

したがって、$C=0$ である。

よって、$f(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$

次に、マクローリン展開を利用して $f^{(n)}(0)$ を求める。

マクローリン展開は $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ で表される。

$f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$ と比較する。

$x^{2k}$ の項は存在しないので、$f^{(2k)}(0) = 0$ となる。

$x^{2k+1}$ の項の係数は $\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!} = \frac{(-1)^k}{2k+1}$ であるから、$f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k (2k)!$ となる。

3. 最終的な答え

$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ とおくと、$f^{(n)}(0) = f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k (2k)! = (-1)^{\frac{n-1}{2}} (n-1)!$

したがって、

$f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}(n-1)! & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$