問題6は、関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 C(1, 2) から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

問題6は、関数 $y = x^3 + 2$ のグラフに点 C(1, 2) から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおきます。

(2) 次に、$y = x^3 + 2$ を微分して、$y' = 3x^2$ を求めます。これは、$x$ における接線の傾きを表します。

(3) よって、$x = t$ における接線の傾きは $3t^2$ となります。

(4) 接線の方程式は、$y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)$ と表されます。

(5) この接線が点 C(1, 2) を通るので、この座標を代入します。

$2 - (t^3 + 2) = 3t^2(1 - t)$

$-t^3 = 3t^2 - 3t^3$

$2t^3 - 3t^2 = 0$

$t^2(2t - 3) = 0$

したがって、$t = 0$ または $t = \frac{3}{2}$ です。

(6) $t = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 2)$、接線の傾きは $3(0)^2 = 0$ なので、接線の方程式は $y - 2 = 0(x - 0)$ より $y = 2$ となります。

(7) $t = \frac{3}{2}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 + 2) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} + 2) = (\frac{3}{2}, \frac{43}{8})$、接線の傾きは $3(\frac{3}{2})^2 = 3(\frac{9}{4}) = \frac{27}{4}$ なので、接線の方程式は $y - \frac{43}{8} = \frac{27}{4}(x - \frac{3}{2})$ となります。これを整理すると、

$y = \frac{27}{4}x - \frac{81}{8} + \frac{43}{8} = \frac{27}{4}x - \frac{38}{8} = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$

$y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$

(8) まとめると、接線の方程式は $y = 2$ と $y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 2$, $y = \frac{27}{4}x - \frac{19}{4}$