関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$ が与えられている。この関数の導関数を $g(x)$ とする。 (1) 関数 $g(x)$ の最小値を求める。 (2) 関数 $f(x)$ のグラフの接線のうち、傾きが最小である接線の方程式を求める。

はい、承知いたしました。問題7について解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$ が与えられている。この関数の導関数を $g(x)$ とする。

(1) 関数 $g(x)$ の最小値を求める。

(2) 関数 $f(x)$ のグラフの接線のうち、傾きが最小である接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数 $g(x)$ を求める。

$g(x) = f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5x) = 3x^2 - 6x + 5$

次に、$g(x)$ の最小値を求めるために、$g(x)$ を平方完成する。

$g(x) = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x-1)^2 - 3 + 5 = 3(x-1)^2 + 2$

$g(x)$ は $x = 1$ のとき最小値をとる。最小値は $g(1) = 2$ である。

(2)

関数 $f(x)$ のグラフの接線の傾きは $g(x)$ で表される。傾きが最小となるのは、$g(x)$ が最小値をとるとき、つまり $x = 1$ のときである。

$x = 1$ における $f(x)$ の値を求める。

$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) = 1 - 3 + 5 = 3$

したがって、傾きが最小となる接線は、点 $(1, 3)$ における接線である。

接線の傾きは $g(1) = 2$ であるから、接線の方程式は次のようになる。

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) 関数 $g(x)$ の最小値: 2

(2) 関数 $f(x)$ のグラフの接線のうち、傾きが最小である接線の方程式: $y = 2x + 1$