与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{3x^2 + 5}{x^4 + 2x^2 - 3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{3x^2 + 5}{x^4 + 2x^2 - 3} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^4 + 2x^2 - 3 = (x^2 + 3)(x^2 - 1) = (x^2 + 3)(x - 1)(x + 1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{3x^2 + 5}{x^4 + 2x^2 - 3} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 3}$

両辺に $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)$ をかけると、

$3x^2 + 5 = A(x + 1)(x^2 + 3) + B(x - 1)(x^2 + 3) + (Cx + D)(x - 1)(x + 1)$

$3x^2 + 5 = A(x^3 + x^2 + 3x + 3) + B(x^3 - x^2 + 3x - 3) + (Cx + D)(x^2 - 1)$

$3x^2 + 5 = A(x^3 + x^2 + 3x + 3) + B(x^3 - x^2 + 3x - 3) + Cx^3 - Cx + Dx^2 - D$

$3x^2 + 5 = (A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (3A + 3B - C)x + (3A - 3B - D)$

係数を比較して、次の連立方程式を得ます。

$A + B + C = 0$

$A - B + D = 3$

$3A + 3B - C = 0$

$3A - 3B - D = 5$

最初の式と３番目の式から，$4A + 4B = 0$, よって $B = -A$.

２番目の式と４番目の式から，$4A + D = 3$と$6A - D = 5$。

これを足すと$10A = 8$なので、$A = \frac{4}{5}$.

$B = -A = -\frac{4}{5}$.

$D = 3 - 4A = 3 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$.

$C = -A - B = 0$.

よって、

$\frac{3x^2 + 5}{x^4 + 2x^2 - 3} = \frac{4/5}{x - 1} - \frac{4/5}{x + 1} - \frac{1/5}{x^2 + 3}$

$\int \frac{3x^2 + 5}{x^4 + 2x^2 - 3} dx = \frac{4}{5} \int \frac{1}{x - 1} dx - \frac{4}{5} \int \frac{1}{x + 1} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^2 + 3} dx$

$= \frac{4}{5} \ln |x - 1| - \frac{4}{5} \ln |x + 1| - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$

$= \frac{4}{5} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| - \frac{1}{5\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| - \frac{1}{5\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$