与えられた積分の問題を解きます。 積分は次の通りです。 $\int \frac{1}{x^4 + 4} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

積分は次の通りです。

$\int \frac{1}{x^4 + 4} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

したがって、

$\frac{1}{x^4 + 4} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2x + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 - 2x + 2}$

$1 = (Ax + B)(x^2 - 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 + 2x + 2)$

$1 = Ax^3 - 2Ax^2 + 2Ax + Bx^2 - 2Bx + 2B + Cx^3 + 2Cx^2 + 2Cx + Dx^2 + 2Dx + 2D$

$1 = (A + C)x^3 + (-2A + B + 2C + D)x^2 + (2A - 2B + 2C + 2D)x + (2B + 2D)$

係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$A + C = 0$

$-2A + B + 2C + D = 0$

$2A - 2B + 2C + 2D = 0$

$2B + 2D = 1$

これらの式を解くと、

$A = \frac{1}{8}, C = -\frac{1}{8}, B = \frac{1}{4}, D = \frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{x^4 + 4} = \frac{\frac{1}{8}x + \frac{1}{4}}{x^2 + 2x + 2} + \frac{-\frac{1}{8}x + \frac{1}{4}}{x^2 - 2x + 2}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x^4 + 4} dx = \frac{1}{8} \int \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx + \frac{1}{8} \int \frac{-x + 2}{x^2 - 2x + 2} dx$

$= \frac{1}{8} \int \frac{x + 1 + 1}{(x+1)^2 + 1} dx + \frac{1}{8} \int \frac{-(x - 1) + 1}{(x-1)^2 + 1} dx$

$= \frac{1}{8} \int \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} dx + \frac{1}{8} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx - \frac{1}{8} \int \frac{x-1}{(x-1)^2 + 1} dx + \frac{1}{8} \int \frac{1}{(x-1)^2 + 1} dx$

$= \frac{1}{16} \ln(x^2 + 2x + 2) + \frac{1}{8} \arctan(x+1) - \frac{1}{16} \ln(x^2 - 2x + 2) + \frac{1}{8} \arctan(x-1) + C$

$= \frac{1}{16} \ln\left(\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 - 2x + 2}\right) + \frac{1}{8} \arctan(x+1) + \frac{1}{8} \arctan(x-1) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{16} \ln\left(\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 - 2x + 2}\right) + \frac{1}{8} \arctan(x+1) + \frac{1}{8} \arctan(x-1) + C$