次の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 1}(x+2)$ (2) $\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}$

1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 1}(x+2)$

(2) $\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}$

2. 解き方の手順

(1) $x$が1に近づくときの$x+2$の極限値を求めます。これは単純な代入で求めることができます。

$x+2$に$x=1$を代入すると、

$1 + 2 = 3$

したがって、$\lim_{x\to 1}(x+2)=3$

(2) $x$が1に近づくときの$\frac{x^2+x-2}{x-1}$の極限値を求めます。$x=1$を代入すると$\frac{0}{0}$となり不定形になるので、式を整理する必要があります。

分子の$x^2+x-2$を因数分解します。

$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$

よって、

$\frac{x^2+x-2}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$

$x \ne 1$のとき、$x-1$で約分できるので、

$\frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2$

したがって、

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+2)$

これは(1)と同じ形になり、$x=1$を代入して

$1 + 2 = 3$

したがって、$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}=3$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 3