$\int \sqrt{e^x + 1} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \sqrt{e^x + 1} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、変数変換 $u = \sqrt{e^x + 1}$ を行う。

このとき、$u^2 = e^x + 1$ となり、$e^x = u^2 - 1$ である。

両辺を $x$ で微分すると、

$e^x = 2u \frac{du}{dx}$ となる。

したがって、$\frac{dx}{du} = \frac{2u}{e^x} = \frac{2u}{u^2 - 1}$ である。

すなわち、$dx = \frac{2u}{u^2 - 1}du$ である。

したがって、

$\int \sqrt{e^x + 1} dx = \int u \cdot \frac{2u}{u^2 - 1}du = \int \frac{2u^2}{u^2 - 1}du$ となる。

$\frac{2u^2}{u^2 - 1} = \frac{2(u^2 - 1) + 2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{2}{(u-1)(u+1)} = 2 + \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$ と部分分数分解する。

$2 = A(u+1) + B(u-1)$ より、

$u = 1$ のとき、$2 = 2A$ から $A = 1$

$u = -1$ のとき、$2 = -2B$ から $B = -1$

したがって、$\frac{2u^2}{u^2 - 1} = 2 + \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}$ である。

よって、

$\int \frac{2u^2}{u^2 - 1} du = \int \left(2 + \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right) du = 2u + \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = 2u + \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C$

$u = \sqrt{e^x + 1}$ を代入すると、

$\int \sqrt{e^x + 1} dx = 2\sqrt{e^x + 1} + \ln\left|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}\right| + C$

$\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1} = \frac{(\sqrt{e^x + 1} - 1)^2}{(\sqrt{e^x + 1} + 1)(\sqrt{e^x + 1} - 1)} = \frac{e^x + 1 - 2\sqrt{e^x + 1} + 1}{e^x + 1 - 1} = \frac{e^x + 2 - 2\sqrt{e^x + 1}}{e^x}$

$\ln\left|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}\right| = \ln\left(\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}\right)$ となる。

別の方法として、$u = \sqrt{e^x + 1}$ より、$e^x = u^2 - 1$ なので、$x = \ln(u^2 - 1)$。

$dx = \frac{2u}{u^2 - 1}du$

$\int \sqrt{e^x + 1} dx = \int u \frac{2u}{u^2 - 1} du = \int \frac{2u^2}{u^2 - 1} du = \int 2 + \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} du = 2u + \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = 2\sqrt{e^x + 1} + \ln\left|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}\right| + C$

$\ln\left(\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1} \cdot \frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} - 1}\right) = \ln\left(\frac{e^x + 1 - 2\sqrt{e^x + 1} + 1}{e^x + 1 - 1}\right) = \ln\left(\frac{e^x + 2 - 2\sqrt{e^x + 1}}{e^x}\right)$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{e^x + 1} + \ln\left|\frac{\sqrt{e^x + 1} - 1}{\sqrt{e^x + 1} + 1}\right| + C$