$\theta$ の範囲が $-\pi \le \theta < \pi$ のとき、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く問題です。 (1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$ (2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $-\pi \le \theta < \pi$ のとき、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く問題です。

(1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

(2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$ を解きます。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて $\sin\theta$ のみの式に書き換えます。

$2(1 - \sin^2\theta) + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

$-2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 3 = 0$

$2\sin^2\theta - \sqrt{3}\sin\theta - 3 = 0$

$\sin\theta = x$ とおくと、$2x^2 - \sqrt{3}x - 3 = 0$ となります。

解の公式より、

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ または $x = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-1 \le \sin\theta \le 1$ であるため、$\sin\theta = \sqrt{3}$ は解なし。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で求めます。

$\theta = -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$

(2) 不等式 $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$ を解きます。

$\tan\theta = t$ とおくと、$\sqrt{3}t^2 + 4t + \sqrt{3} < 0$ となります。

$(\sqrt{3}t + 1)(t + \sqrt{3}) < 0$

$-\sqrt{3} < t < -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\sqrt{3} < \tan\theta < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ となる $\theta$ を $-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で求めます。

$-\frac{\pi}{2} < \theta < -\frac{\pi}{6}$ および $-\frac{5\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{2}$ および $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ および $-\pi \le \theta < -\frac{5\pi}{6}$ および $\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$ は範囲外

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$

(2) $-\frac{5\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} < \theta < -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$