この問題は、以下の3つのパートに分かれています。 (1) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ に関する問題です。 (a) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ と級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ がともに収束する例を挙げます。 (b) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ と級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ がともに発散する例を挙げます。 (c) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は収束するが、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する例を挙げます。 (2) 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ に関する問題です。 (a) $x=0$ において連続でない関数の例を挙げます。 (b) $x=0$ において連続だが、微分可能でない関数の例を挙げます。 (c) $x=0$ において微分可能な関数の例を挙げます。 (3) 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と $f'(0)$ を求める問題です。 (a) $f(x) = \arctan(\sinh x)$ (b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つのパートに分かれています。

(1) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ に関する問題です。

(a) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ と級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ がともに収束する例を挙げます。

(b) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ と級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ がともに発散する例を挙げます。

(c) 数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ は収束するが、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は発散する例を挙げます。

(2) 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ に関する問題です。

(a) $x=0$ において連続でない関数の例を挙げます。

(b) $x=0$ において連続だが、微分可能でない関数の例を挙げます。

(c) $x=0$ において微分可能な関数の例を挙げます。

(3) 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と $f'(0)$ を求める問題です。

(a) $f(x) = \arctan(\sinh x)$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$

2. 解き方の手順

(1) 数列

(a) 例えば、$a_n = \frac{1}{n^2}$ とすると、数列 $\{a_n\}$ は $0$ に収束し、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は $\frac{\pi^2}{6}$ に収束します。

(b) 例えば、$a_n = n$ とすると、数列 $\{a_n\}$ は発散し、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n$ も発散します。

(c) 例えば、$a_n = \frac{1}{n}$ とすると、数列 $\{a_n\}$ は $0$ に収束しますが、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散します（調和級数）。

(2) 関数

(a) 例えば、$f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ は、$x=0$ で不連続です。

(b) 例えば、$f(x) = |x|$ は、$x=0$ で連続ですが、微分可能ではありません。

(c) 例えば、$f(x) = x$ は、$x=0$ で微分可能です。

(3) 導関数

(a) $f(x) = \arctan(\sinh x)$ のとき、合成関数の微分法則より、

$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sinh x)^2} \cdot \cosh x = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x}$

$x=0$ を代入すると、

$f'(0) = \frac{1}{\cosh 0} = \frac{1}{1} = 1$

(b) $f(x) = (x^2 + 1)^x$ のとき、両辺の自然対数をとると、

$\ln f(x) = x \ln(x^2 + 1)$

両辺を $x$ で微分すると、積の微分法則と合成関数の微分法則より、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x^2 + 1) + x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}$

したがって、

$f'(x) = (x^2 + 1)^x \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$

$x=0$ を代入すると、

$f'(0) = (0^2 + 1)^0 \left( \ln(0^2 + 1) + \frac{2 \cdot 0^2}{0^2 + 1} \right) = 1 \cdot (\ln 1 + 0) = 1 \cdot (0 + 0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 数列

(a) $a_n = \frac{1}{n^2}$

(b) $a_n = n$

(c) $a_n = \frac{1}{n}$

(2) 関数

(a) $f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

(b) $f(x) = |x|$

(c) $f(x) = x$

(3) 導関数

(a) $f'(x) = \frac{1}{\cosh x}$, $f'(0) = 1$

(b) $f'(x) = (x^2 + 1)^x \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)$, $f'(0) = 0$