与えられた数学の問題は以下の通りです。 1. ド・モアブルの公式の導出

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の通りです。

1. ド・モアブルの公式の導出

2. 複素関数または数列の収束・発散の判定と極限値の計算

3. 複素関数の微分可能性の判定と微分係数の計算

4. 複素積分の問題

5. スカラー場の勾配、最大傾斜方向の単位ベクトル、方向微分係数の計算

6. ベクトル場の勾配と回転の証明

2. 解き方の手順

それぞれの問題に対する解き方の手順を以下に示します。

1. ド・モアブルの公式の導出:

複素数 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ の積と商の関係を利用して、$z^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$を導出します。また、$(\cos\phi + i\sin\phi)(\cos\theta + i\sin\theta) = \cos(\phi+\theta) + i\sin(\phi+\theta)$ を示します。

2. 複素関数または数列の収束・発散の判定と極限値の計算:

(1) $\lim_{z\to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$: ロピタルの定理を用いるか、$\sqrt{1+z}$ と $\sqrt{1-z}$ をテイラー展開して計算します。

(2) $\lim_{z\to 0} |\frac{z}{z}|$: $z$が複素数であることを考慮して極限を計算します。

(3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$: $| \sqrt{5} - 2i | = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2} = \sqrt{5+4} = 3 > 1$ なので、発散します。

3. 複素関数の微分可能性の判定と微分係数の計算:

(1) $f(z) = z^4$: 微分可能です。$f'(z) = 4z^3$. $z=\alpha$ での微分係数は $4\alpha^3$。

(2) $f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2$: コーシー・リーマンの関係式を満たすかどうかを確認します。$u(x, y) = x^2 + y^2$ と $v(x, y) = 0$ より、$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$。したがって、$2x = 0$ かつ $2y = 0$、つまり $x = y = 0$ でのみ微分可能です。$z=0$ での微分係数は $0$。

(3) $f(z) = \frac{z}{z^2 + 1}$: $z = \pm i$ を除くすべての点で微分可能です。$f'(z) = \frac{(z^2+1) - z(2z)}{(z^2+1)^2} = \frac{1-z^2}{(z^2+1)^2}$. $z = \alpha$ での微分係数は $\frac{1-\alpha^2}{(\alpha^2+1)^2}$。

(4) $f(z) = (1+e^z)^2$: 微分可能です。$f'(z) = 2(1+e^z)e^z$. $z=\alpha$ での微分係数は $2(1+e^\alpha)e^\alpha$。

4. 複素積分の問題:

(1) $f(z) = z^2$ は正則関数です。

(2) $C_1: z = 1 - t + it (0 \le t \le 1)$ は、$1$ から $i$ への線分。 $C_2: z = \cos t + i\sin t (0 \le t \le \frac{\pi}{2})$ は、$1$ から $i$ への四分円。

(3) 正則関数の複素積分は経路によらないので、$C_1$ と $C_2$ に沿った $f(z) = z^2$ の積分は同じになります。

5. スカラー場の勾配、最大傾斜方向の単位ベクトル、方向微分係数の計算:

(1) $\phi = xy^2 + xz$ なので、$\nabla \phi = (y^2+z, 2xy, x)$. $P(1, -1, 1)$ での勾配は $\nabla \phi(P) = (2, -2, 1)$.

(2) 最大傾斜方向の単位ベクトルは $\mathbf{u} = \frac{\nabla \phi(P)}{|\nabla \phi(P)|} = \frac{(2, -2, 1)}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = (\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.

(3) $P$ から $Q(2, 1, 0)$ への方向ベクトルは $\mathbf{v} = Q - P = (2-1, 1-(-1), 0-1) = (1, 2, -1)$. 単位ベクトルは $\frac{(1, 2, -1)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{(1, 2, -1)}{\sqrt{6}}$. 方向微分係数は $\nabla \phi(P) \cdot \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = (2, -2, 1) \cdot \frac{(1, 2, -1)}{\sqrt{6}} = \frac{2 - 4 - 1}{\sqrt{6}} = -\frac{3}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

6. ベクトル場の勾配と回転の証明:

(1) $\mathbf{r} = (x, y, z)$ なので、$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. 勾配は $\nabla |\mathbf{r}| = (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}) = \frac{(x, y, z)}{|\mathbf{r}|} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$.

(2) $\mathbf{r} = (x, y, z)$ の回転は $\nabla \times \mathbf{r} = (\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z}, \frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y}) = (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0)$.

3. 最終的な答え

1. ド・モアブルの公式: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$, $(\cos\phi + i\sin\phi)(\cos\theta + i\sin\theta) = \cos(\phi+\theta) + i\sin(\phi+\theta)$

2. (1) 1, (2) 存在しない, (3) 発散

3. (1) $4\alpha^3$, (2) $0$, (3) $\frac{1-\alpha^2}{(\alpha^2+1)^2}$, (4) $2(1+e^\alpha)e^\alpha$

4. (1) 正則, (2) 上記参照, (3) 上記参照

5. (1) $(2, -2, 1)$, (2) $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$, (3) $-\frac{\sqrt{6}}{2}$

6. (1) $\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$, (2) $(0, 0, 0)$