与えられた4つの関数の増減を調べ、極値を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y = x^3 - 6x^2 + 5$ (2) $y = 2x^3 - 24x$ (3) $y = -x^3 + 3x + 1$ (4) $y = -2x^3 + 6x^2 + 10$

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数の増減を調べ、極値を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 5$

(2) $y = 2x^3 - 24x$

(3) $y = -x^3 + 3x + 1$

(4) $y = -2x^3 + 6x^2 + 10$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減を調べ、極値を求めます。

ステップ1: 導関数を求める

与えられた関数を$x$で微分し、$y'$を求めます。

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$y' = 0$となる$x$の値を求めます。これらの$x$の値は極値の候補となります。

ステップ3: 増減表を作成する

ステップ2で求めた$x$の値を基に増減表を作成します。増減表では、$x$の値の範囲における$y'$の符号を調べ、$y$が増加するか減少するかを判断します。

ステップ4: 極値を判定する

増減表から、極大値および極小値を判定します。

ステップ5: グラフを描く

求めた極値と増減表を基にグラフを描きます。

以下に、各関数について詳細な解答を示します。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 5$

ステップ1: 導関数を求める

$y' = 3x^2 - 12x$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

ステップ3: 増減表を作成する

| x | ... | 0 | ... | 4 | ... |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

ステップ4: 極値を判定する

$x = 0$のとき、$y = 0^3 - 6(0)^2 + 5 = 5$ (極大値)

$x = 4$のとき、$y = 4^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27$ (極小値)

ステップ5: グラフを描く

極大値(0, 5)、極小値(4, -27)をプロットし、増減表に従ってグラフを描きます。

(2) $y = 2x^3 - 24x$

ステップ1: 導関数を求める

$y' = 6x^2 - 24$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$6x^2 - 24 = 0$

$6(x^2 - 4) = 0$

$x^2 = 4$

$x = -2, 2$

ステップ3: 増減表を作成する

| x | ... | -2 | ... | 2 | ... |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

ステップ4: 極値を判定する

$x = -2$のとき、$y = 2(-2)^3 - 24(-2) = -16 + 48 = 32$ (極大値)

$x = 2$のとき、$y = 2(2)^3 - 24(2) = 16 - 48 = -32$ (極小値)

ステップ5: グラフを描く

極大値(-2, 32)、極小値(2, -32)をプロットし、増減表に従ってグラフを描きます。

(3) $y = -x^3 + 3x + 1$

ステップ1: 導関数を求める

$y' = -3x^2 + 3$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$-3x^2 + 3 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = -1, 1$

ステップ3: 増減表を作成する

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ |

ステップ4: 極値を判定する

$x = -1$のとき、$y = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ (極小値)

$x = 1$のとき、$y = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ (極大値)

ステップ5: グラフを描く

極小値(-1, -1)、極大値(1, 3)をプロットし、増減表に従ってグラフを描きます。

(4) $y = -2x^3 + 6x^2 + 10$

ステップ1: 導関数を求める

$y' = -6x^2 + 12x$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$-6x^2 + 12x = 0$

$-6x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

ステップ3: 増減表を作成する

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ |

ステップ4: 極値を判定する

$x = 0$のとき、$y = -2(0)^3 + 6(0)^2 + 10 = 10$ (極小値)

$x = 2$のとき、$y = -2(2)^3 + 6(2)^2 + 10 = -16 + 24 + 10 = 18$ (極大値)

ステップ5: グラフを描く

極小値(0, 10)、極大値(2, 18)をプロットし、増減表に従ってグラフを描きます。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: (0, 5), 極小値: (4, -27)

(2) 極大値: (-2, 32), 極小値: (2, -32)

(3) 極小値: (-1, -1), 極大値: (1, 3)

(4) 極小値: (0, 10), 極大値: (2, 18)

各関数のグラフは、それぞれの極値と増減に基づいて描画されます。ここではグラフの描画までは省略します。