$\int x \cos x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x \cos x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

です。

ここで、$u=x$、$dv=\cos x \, dx$ とします。

すると、$du=dx$、$v=\int \cos x \, dx = \sin x$ となります。

したがって、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$

$\int \sin x \, dx = -\cos x$ なので、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x \sin x + \cos x + C$