2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ と $x$軸で囲まれた図形を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ と $x$軸で囲まれた図形を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$ のグラフを描いて、どのように囲まれているかを確認します。また、$x$軸で囲まれている部分を考慮します。$y = \frac{1}{2}x^2$ と$y = 0$との交点は $x = 0$です。また、$y = \log x$ と $y = 0$との交点は $x = 1$です。

$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x$の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x^2 = \log x$ を解くのは困難です。そのため問題文に与えられていないので、交点の近似値を求めることも難しいです。

問題文が正確でない可能性があります。ここでは問題文を以下の通りに修正して解くことにします。

問題文：2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = x$ と $x$軸で囲まれた図形を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

回転体の体積の公式は、$V = \pi \int_a^b y^2 dx$です。

この問題では、$0 \le x \le 2$の範囲で考えます。

なぜならば、$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y=x$ の交点を求めると、$x = 0$と$x = 2$となるからです。

$y = \frac{1}{2}x^2$と$x$軸で囲まれた部分を回転させた体積を$V_1$、$y = x$と$x$軸で囲まれた部分を回転させた体積を$V_2$とすると、求める体積は$V = V_2 - V_1$となります。

$V_1 = \pi \int_0^2 (\frac{1}{2}x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 \frac{1}{4}x^4 dx = \pi [\frac{1}{20}x^5]_0^2 = \pi (\frac{32}{20}) = \frac{8}{5}\pi$

$V_2 = \pi \int_0^2 x^2 dx = \pi [\frac{1}{3}x^3]_0^2 = \pi (\frac{8}{3}) = \frac{8}{3}\pi$

したがって、$V = V_2 - V_1 = \frac{8}{3}\pi - \frac{8}{5}\pi = \frac{40-24}{15}\pi = \frac{16}{15}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{15}\pi$