$\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を各項に分解します。

$\frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} = \frac{x^3}{x} - \frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{4}{x} = x^2 - 2x + 3 - \frac{4}{x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} dx = \int (x^2 - 2x + 3 - \frac{4}{x}) dx$

次に、各項を個別に積分します。

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int -2x dx = -x^2 + C_2$

$\int 3 dx = 3x + C_3$

$\int -\frac{4}{x} dx = -4\ln|x| + C_4$

これらの積分を組み合わせると、

$\int (x^2 - 2x + 3 - \frac{4}{x}) dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x - 4\ln|x| + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x - 4\ln|x| + C$