問題は定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回用いることで解くことができます。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

最初に、$u = x^2$ と $dv = \sin x \, dx$ とします。すると、$du = 2x \, dx$ と $v = -\cos x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx = \left[ -x^2 \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x)(2x) \, dx = \left[ -x^2 \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$

ここで、$\left[ -x^2 \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -(\frac{\pi}{2})^2 \cos(\frac{\pi}{2}) - (-0^2 \cos(0)) = -(\frac{\pi}{2})^2(0) - 0 = 0$ となります。

よって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$ となります。

次に、$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$ を計算します。

$u = x$ と $dv = \cos x \, dx$ とします。すると、$du = dx$ と $v = \sin x$ となります。

したがって、

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx = \left[ x \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[ x \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$\left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2})) - (0 \sin(0) + \cos(0)) = (\frac{\pi}{2}(1) + 0) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

よって、$I_1 = \frac{\pi}{2} - 1$ となります。

したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx = 2I_1 = 2(\frac{\pi}{2} - 1) = \pi - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$\pi - 2$