与えられた積分 $\int x \sin(x^2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \sin(x^2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

まず、$u = x^2$ と置きます。

このとき、$\frac{du}{dx} = 2x$ となり、$dx = \frac{du}{2x}$ となります。

元の積分に $u = x^2$ と $dx = \frac{du}{2x}$ を代入すると、

$\int x \sin(x^2) dx = \int x \sin(u) \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2} \sin(u) du$

定数 $\frac{1}{2}$ を積分の外に出すと、

$\frac{1}{2} \int \sin(u) du$

$\sin(u)$ の積分は $-\cos(u)$ なので、

$\frac{1}{2} \int \sin(u) du = \frac{1}{2} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{2} \cos(u) + C$

最後に、$u = x^2$ を代入して、$u$ を $x$ に戻すと、

$-\frac{1}{2} \cos(u) + C = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C$