次の3つの問題に答える。 (1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$ -3z_x = 2z_y $となることを示す。 (2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$ xz_x + yz_y = 0 $となることを示す。 (3) $z = (x+y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$ yz_x + xz_y = z $となることを示す。

1. 問題の内容

次の3つの問題に答える。

(1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$-3z_x = 2z_y$となることを示す。

(2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$xz_x + yz_y = 0$となることを示す。

(3) $z = (x+y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$yz_x + xz_y = z$となることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $z = f(2x - 3y)$ の場合:

合成関数の偏微分より、

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = f'(2x-3y) \cdot 2 = 2f'$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = f'(2x-3y) \cdot (-3) = -3f'$

したがって、

$-3z_x = -3(2f') = -6f'$

$2z_y = 2(-3f') = -6f'$

ゆえに、$-3z_x = 2z_y$が成り立つ。

(2) $z = f(\frac{y}{x})$ の場合:

$z_x = f'(\frac{y}{x}) \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$z_y = f'(\frac{y}{x}) \cdot (\frac{1}{x})$

したがって、

$xz_x = x \cdot f'(\frac{y}{x}) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x}f'(\frac{y}{x})$

$yz_y = y \cdot f'(\frac{y}{x}) \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{y}{x}f'(\frac{y}{x})$

$xz_x + yz_y = -\frac{y}{x}f'(\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}f'(\frac{y}{x}) = 0$

ゆえに、$xz_x + yz_y = 0$が成り立つ。

(3) $z = (x+y)f(x^2 - y^2)$ の場合:

$z_x = (x+y)'f(x^2-y^2) + (x+y)(f(x^2-y^2))' = f(x^2-y^2) + (x+y)f'(x^2-y^2) \cdot 2x = f + 2x(x+y)f'$

$z_y = (x+y)'f(x^2-y^2) + (x+y)(f(x^2-y^2))' = f(x^2-y^2) + (x+y)f'(x^2-y^2) \cdot (-2y) = f - 2y(x+y)f'$

したがって、

$yz_x = yf + 2xy(x+y)f'$

$xz_y = xf - 2xy(x+y)f'$

$yz_x + xz_y = yf + 2xy(x+y)f' + xf - 2xy(x+y)f' = (x+y)f$

ゆえに、$yz_x + xz_y = (x+y)f = z$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $-3z_x = 2z_y$

(2) $xz_x + yz_y = 0$

(3) $yz_x + xz_y = z$