積分 $\int x(2x+1)^3 dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

積分 $\int x(2x+1)^3 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、まず $(2x+1)^3$ を展開します。

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) dx = \int (8x^4 + 12x^3 + 6x^2 + x) dx$

次に、各項を個別に積分します。

$\int 8x^4 dx = 8 \int x^4 dx = 8 \frac{x^5}{5} = \frac{8}{5}x^5$

$\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \frac{x^4}{4} = 3x^4$

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \frac{x^3}{3} = 2x^3$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (8x^4 + 12x^3 + 6x^2 + x) dx = \frac{8}{5}x^5 + 3x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{8}{5}x^5 + 3x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$