関数 $y = \log_{25} x$ のグラフについて、与えられた点を通ることからグラフの増減を判断し、さらに $y = \log_{\frac{4}{8}} x$ のグラフとの関係を考察し、$1/2$ と $\log_{25} \frac{7}{2}$ および $\log_{\frac{4}{8}} \frac{3}{2}$ の大小関係を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{25} x$ のグラフについて、与えられた点を通ることからグラフの増減を判断し、さらに $y = \log_{\frac{4}{8}} x$ のグラフとの関係を考察し、$1/2$ と $\log_{25} \frac{7}{2}$ および $\log_{\frac{4}{8}} \frac{3}{2}$ の大小関係を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log_{25} x$ のグラフが $(1/2, 2)$ を通ることから $2 = \log_{25} \frac{1}{2}$ が成り立つか確認します。

$25^2 = 625 \neq \frac{1}{2}$ なので、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = 2$ は誤りです。問題文の関数 $y = \log_{25} x$ のグラフは点 $(\frac{1}{2}, ア)$ を通るとあるので、与えられた条件から読み取ると、$y = \log_{25} x$ のグラフは点 $(1/2, -\frac{1}{2})$ を通ることが分かります。

なぜなら、 $\log_{25} \frac{1}{2} = \log_{25} 2^{-1} = -\log_{25} 2 = -\log_{5^2} 2 = -\frac{1}{2} \log_{5} 2$ です。

また、関数 $y = \log_a x$ において、$a > 1$ のとき $x$ が増加すると $y$ も増加し、$0 < a < 1$ のとき $x$ が増加すると $y$ は減少します。

$25 > 1$ なので、$y = \log_{25} x$ は $x$ が増加すると $y$ も増加します。よってイの解答は「yの値は増加し、グラフはx軸に限りなく近づく」が正しいため、0を選びます。

関数 $y = \log_{\frac{4}{8}} x = \log_{\frac{1}{2}} x$ について、$\frac{1}{2} < 1$ なので、$x$ が増加すると $y$ は減少します。よってオの解答は「yの値は減少し、グラフはx軸に限りなく近づく」が正しいため、2を選びます。

$1/2$ と $\log_{25} \frac{7}{2}$ の比較: $\log_{25} \frac{7}{2} > \log_{25} \frac{5}{2} > \log_{25} 1=0$ となります。

$25^{1/2} = 5$ なので、$\frac{1}{2} = \log_{25} 5$です。

$\frac{7}{2} = 3.5$ であり、$5 > 3.5$ より、$\log_{25} 5 > \log_{25} \frac{7}{2}$。つまり$\frac{1}{2} > \log_{25} \frac{7}{2}$となります。

$1/2$ と $\log_{\frac{4}{8}} \frac{3}{2}$ の比較: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{2} < \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$ となり、$1/2 > 0$ なので、$\frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ となります。

したがって、$\log_{\frac{4}{8}} \frac{3}{2} < \log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

イ：0

オ：2

カ：◎