与えられた積分 $I$ を計算する問題です。 $I = \int \cos^3 x \sin x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた積分 $I$ を計算する問題です。

$I = \int \cos^3 x \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

まず、$u = \cos x$ と置きます。

すると、$du = -\sin x \, dx$ となります。

したがって、$\sin x \, dx = -du$ となります。

積分を $u$ を用いて書き換えると、

$I = \int u^3 (-du) = -\int u^3 du$

となります。

$u^3$ の積分は、

$\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$

となります。

したがって、

$I = -\frac{u^4}{4} + C$

ここで、$u = \cos x$ を代入して、元の変数 $x$ に戻します。

$I = -\frac{\cos^4 x}{4} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$-\frac{\cos^4 x}{4} + C$

となります。