$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4(x) \cos(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4(x) \cos(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分によって計算できます。

$u = \sin(x)$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = \cos(x)$

$du = \cos(x) dx$

積分範囲を変換します。

$x=0$ のとき、$u = \sin(0) = 0$

$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} u^4 du$

$u^4$ の積分は $\frac{u^5}{5}$ です。

$\int_{0}^{1} u^4 du = \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$