与えられた問題は、定積分 $\int_{0}^{1} xe^{2x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、定積分 $\int_{0}^{1} xe^{2x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分を解くためには、部分積分法を用います。部分積分法の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここで、$u = x$、$dv = e^{2x} dx$ とします。すると、$du = dx$、$v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

部分積分法を適用すると、以下のようになります。

$\int_{0}^{1} xe^{2x} dx = \left[ x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2}e^{2x} dx$

$= \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} \right]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2x} dx$

$= \left[ \frac{1}{2}xe^{2x} \right]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2}(1 \cdot e^{2(1)} - 0 \cdot e^{2(0)}) - \frac{1}{4} (e^{2(1)} - e^{2(0)})$

$= \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{4} (e^{2} - 1)$

$= \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{4}e^{2} + \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{4}e^{2} + \frac{1}{4}$

$= \frac{e^{2} + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{2} + 1}{4}$