与えられた3つの関数について、その増減を調べ、極値が存在する場合はその極値を求めよ。 (1) $f(x) = -2x^3 - 1$ (2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2$ (3) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、その増減を調べ、極値が存在する場合はその極値を求めよ。

(1) $f(x) = -2x^3 - 1$

(2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2$

(3) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減と極値を求める。

(1) 導関数 $f'(x)$ を計算する。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。これが極値の候補となる。

(3) $f'(x)$ の符号の変化を調べる。

- $f'(x) > 0$ ならば $f(x)$ は増加

- $f'(x) < 0$ ならば $f(x)$ は減少

- $f'(x)$ の符号が正から負に変わる点で極大値を持ち、負から正に変わる点で極小値を持つ。

(4) 極値を持つ点における $f(x)$ の値を計算する。

(1) $f(x) = -2x^3 - 1$

$f'(x) = -6x^2$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のときのみ。

$x < 0$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$

$x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わらないため、極値は存在しない。

$f(x)$ は常に減少する。

(2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2$

$f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = 1$ のとき。

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$

$0 < x < 1$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$

$x = 0$ で極大値を持ち、極大値は $f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0$

$x = 1$ で極小値を持ち、極小値は $f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1$

(3) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときのみ。

$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$

$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$

$x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わらないため、極値は存在しない。

$f(x)$ は常に増加する。

3. 最終的な答え

(1) 極値なし。

(2) $x = 0$ で極大値 $0$、$x = 1$ で極小値 $-1$

(3) 極値なし。