与えられた定積分を計算します。 問題は以下の通りです。 $\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{3-\cos 2x} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

問題は以下の通りです。

$\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{3-\cos 2x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x$を$\cos^2 x$と$\sin^2 x$で表します。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$

これを与式に代入すると、

$\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{3-(1-2\sin^2 x)} dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2+2\sin^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\sin^2 x} dx$

ここで、$\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ を代入すると

$\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+(1-\cos^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2-\cos^2 x} dx$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$となります。

$x = 0$ のとき $u = \cos 0 = 1$

$x = \pi$ のとき $u = \cos \pi = -1$

よって積分範囲は $1$ から $-1$ に変わります。

$\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2-\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{-1} \frac{-du}{2-u^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{du}{2-u^2}$

部分分数分解を考えます。

$\frac{1}{2-u^2} = \frac{1}{(\sqrt{2}-u)(\sqrt{2}+u)} = \frac{A}{\sqrt{2}-u} + \frac{B}{\sqrt{2}+u}$

$1 = A(\sqrt{2}+u) + B(\sqrt{2}-u)$

$u = \sqrt{2}$ のとき $1 = 2\sqrt{2}A$ より $A = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$u = -\sqrt{2}$ のとき $1 = 2\sqrt{2}B$ より $B = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

したがって

$\frac{1}{2-u^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}-u} + \frac{1}{\sqrt{2}+u} \right)$

$\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{du}{2-u^2} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}-u} + \frac{1}{\sqrt{2}+u} \right) du$

$= \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left[ \ln|\sqrt{2}+u| - \ln|\sqrt{2}-u| \right]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left[ \ln\left| \frac{\sqrt{2}+u}{\sqrt{2}-u} \right| \right]_{-1}^{1}$

$= \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left( \ln\left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \ln\left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \right) \right) = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left( \ln\left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) - \ln\left( \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^{-1} \right) \right)$

$= \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left( \ln\left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) + \ln\left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) \right) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \ln\left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)$

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

$\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \ln(3+2\sqrt{2}) = \frac{\pi \sqrt{2}}{4} \ln(3+2\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{2}}{4} \ln(3+2\sqrt{2})$