半径 $r$ の球形の容器に、単位時間あたり $a$ の割合で体積が増えるように水を入れる。 (1) 水の深さが $h$ ($0 < h < r$) に達したときの水の体積 $V$ と水面の面積 $S$ をそれぞれ求める。 (2) 水の深さが $\frac{r}{2}$ になったときの水面の上昇速度 $v_1$ と水面の面積の増加速度 $v_2$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

半径 $r$ の球形の容器に、単位時間あたり $a$ の割合で体積が増えるように水を入れる。

(1) 水の深さが $h$ ($0 < h < r$) に達したときの水の体積 $V$ と水面の面積 $S$ をそれぞれ求める。

(2) 水の深さが $\frac{r}{2}$ になったときの水面の上昇速度 $v_1$ と水面の面積の増加速度 $v_2$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1)

球の中心を原点とする座標系を考える。球の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ 。

深さ $h$ の時の体積 $V$ は、回転体の体積として積分で求められる。

$V = \int_{r-h}^{r} \pi y^2 dx = \int_{r-h}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx = \pi [r^2 x - \frac{x^3}{3}]_{r-h}^{r} = \pi [(r^3 - \frac{r^3}{3}) - (r^2(r-h) - \frac{(r-h)^3}{3})] = \pi [\frac{2}{3} r^3 - r^3 + r^2 h + \frac{r^3 - 3r^2h + 3rh^2 - h^3}{3}] = \pi [\frac{-r^3}{3} + r^2 h + \frac{r^3}{3} - r^2 h + rh^2 - \frac{h^3}{3}] = \pi (rh^2 - \frac{h^3}{3}) = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)$

$V = \frac{\pi h^2 (3r-h)}{3}$

水面の面積 $S$ は、深さ $h$ のときの円の面積である。

$x = r - h$ のとき、$y^2 = r^2 - x^2 = r^2 - (r-h)^2 = r^2 - (r^2 - 2rh + h^2) = 2rh - h^2$

$S = \pi y^2 = \pi (2rh - h^2)$

$S = \pi (2rh - h^2)$

(2)

体積 $V$ が時間 $t$ に対して $a$ の割合で増えるので、$\frac{dV}{dt} = a$ 。

$V = \frac{\pi h^2 (3r-h)}{3}$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (2h \frac{dh}{dt} (3r - h) + h^2 (- \frac{dh}{dt})) = \frac{\pi}{3} \frac{dh}{dt} (6rh - 2h^2 - h^2) = \frac{\pi}{3} \frac{dh}{dt} (6rh - 3h^2) = \pi (2rh - h^2) \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{a}{\pi (2rh - h^2)}$

水面の上昇速度 $v_1 = \frac{dh}{dt}$ であり、 $h = \frac{r}{2}$ のとき

$v_1 = \frac{a}{\pi (2r \frac{r}{2} - (\frac{r}{2})^2)} = \frac{a}{\pi (r^2 - \frac{r^2}{4})} = \frac{a}{\pi \frac{3r^2}{4}} = \frac{4a}{3 \pi r^2}$

$v_1 = \frac{4a}{3 \pi r^2}$

水面の面積 $S = \pi (2rh - h^2)$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dS}{dt} = \pi (2r \frac{dh}{dt} - 2h \frac{dh}{dt}) = 2 \pi (r - h) \frac{dh}{dt}$

水面の面積の増加速度 $v_2 = \frac{dS}{dt}$ であり、$h = \frac{r}{2}$ のとき、$\frac{dh}{dt} = \frac{4a}{3 \pi r^2}$ であるから、

$v_2 = 2 \pi (r - \frac{r}{2}) \frac{4a}{3 \pi r^2} = 2 \pi \frac{r}{2} \frac{4a}{3 \pi r^2} = \frac{4a}{3r}$

$v_2 = \frac{4a}{3r}$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\pi h^2 (3r-h)}{3}$, $S = \pi (2rh - h^2)$

(2) $v_1 = \frac{4a}{3 \pi r^2}$, $v_2 = \frac{4a}{3r}$