与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{n^3}(\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n})}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{n^3}(\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n})}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n}$ の分母を有利化します。

$(\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{n+1} + \sqrt[4]{n}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = (n+1) - n = 1$

したがって、$\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n} = \frac{1}{(\sqrt[4]{n+1} + \sqrt[4]{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}$ となります。

与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{n^3}(\sqrt[4]{n+1} - \sqrt[4]{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt[4]{n+1} + \sqrt[4]{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt[4]{n^3}}$

さらに、次のように変形します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{1+\frac{1}{n}} + 1)\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1)}{\sqrt[4]{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{2}}(\sqrt[4]{1+\frac{1}{n}} + 1)(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1)}{n^{\frac{3}{4}}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{3}{4}}(\sqrt[4]{1+\frac{1}{n}} + 1)(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1)}{n^{\frac{3}{4}}} = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[4]{1+\frac{1}{n}} + 1)(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1)$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、$\sqrt[4]{1+\frac{1}{n}} \to 1$ および $\sqrt{1+\frac{1}{n}} \to 1$ となります。

したがって、極限は $(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 = 4$ になります。

3. 最終的な答え

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