与えられた積分 $\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分を2つの部分に分けます。

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

最初の積分 $\int \frac{x}{1 + \cos x} dx$ について考えます。

半角の公式 $1 + \cos x = 2 \cos^2(\frac{x}{2})$ を用いると、

$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{2 \cos^2(\frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

ここで、部分積分法を用います。$u = x$ , $dv = \sec^2(\frac{x}{2}) dx$ とすると、$du = dx$ , $v = 2 \tan(\frac{x}{2})$ となります。

よって、

$\frac{1}{2} \int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} (x \cdot 2 \tan(\frac{x}{2}) - \int 2 \tan(\frac{x}{2}) dx) = x \tan(\frac{x}{2}) - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$

$\int \tan(\frac{x}{2}) dx = \int \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} dx$

ここで、$u = \cos(\frac{x}{2})$ とすると、$du = -\frac{1}{2} \sin(\frac{x}{2}) dx$ なので、

$\int \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} dx = -2 \int \frac{1}{u} du = -2 \ln |u| + C = -2 \ln |\cos(\frac{x}{2})| + C$

したがって、

$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx = x \tan(\frac{x}{2}) + 2 \ln |\cos(\frac{x}{2})| + C_1$

次に、2番目の積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ について考えます。

$u = 1 + \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ なので、

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = - \int \frac{1}{u} du = - \ln |u| + C = - \ln |1 + \cos x| + C_2$

元の積分は、

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan(\frac{x}{2}) + 2 \ln |\cos(\frac{x}{2})| - \ln |1 + \cos x| + C$

$1 + \cos x = 2 \cos^2(\frac{x}{2})$ であるから、

$\ln |1 + \cos x| = \ln |2 \cos^2(\frac{x}{2})| = \ln 2 + 2 \ln |\cos(\frac{x}{2})|$

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan(\frac{x}{2}) + 2 \ln |\cos(\frac{x}{2})| - \ln 2 - 2 \ln |\cos(\frac{x}{2})| + C = x \tan(\frac{x}{2}) - \ln 2 + C$

定数 $\ln 2$ を積分定数に含めることができるので、

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$x \tan(\frac{x}{2}) + C$